Klausur EF: Ableitungen ganzrationaler Funktionen

Steckbrief

Material und Schwerpunkt

Teil A fragt Ableitungsregeln, Tangenten und Stellen mit vorgegebener Steigung ab und lässt vier Aussagen über eine Funktion beurteilen, von der nur die Ableitung bekannt ist. Teil B untersucht eine Funktion auf Extrempunkte und Monotonie und modelliert den Temperaturverlauf in einem Gewächshaus.

Bei den Extrempunkten erwartet der Erwartungshorizont notwendige und hinreichende Bedingung. Die Anwendung endet mit der Frage, wie lange das Modell gilt, damit die Klasse Ergebnisse auch kritisch einordnet.

Aufgabenstellung

Teil A (hilfsmittelfrei)

Aufgabe 1: Ableitungsregeln, 8 Punkte

Bestimme jeweils die erste Ableitung. Vereinfache gegebenenfalls vorher den Funktionsterm.

a) f(x) = 3x⁴ − 2x³ + 5x − 7 (2 Punkte)

b) g(x) = (1/3)x³ − 2x² + 4 (2 Punkte)

c) h(x) = (x − 2)(x + 3) (2 Punkte)

d) k(x) = (2x − 1)² (2 Punkte)

Aufgabe 2: Steigung und Tangente, 10 Punkte

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 4.

a) Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(1|f(1)). (4 Punkte)

b) Bestimme alle Stellen, an denen der Graph von f die Steigung 9 hat. (3 Punkte)

c) Zeige, dass der Graph von f die x-Achse an der Stelle x = 2 berührt. (3 Punkte)

Aufgabe 3: Schlussfolgerungen aus der Ableitung, 8 Punkte

Von einer ganzrationalen Funktion f ist nur die Ableitung bekannt: f'(x) = −2x + 6. Entscheide für jede der folgenden Aussagen, ob sie zutrifft, und begründe deine Entscheidung.

a) Der Graph von f ist für x < 3 streng monoton steigend. (2 Punkte)

b) Der Graph von f hat an der Stelle x = 3 einen lokalen Hochpunkt. (2 Punkte)

c) Aus den Angaben folgt f(3) = 0. (2 Punkte)

d) Der Graph von f ist eine nach unten geöffnete Parabel. (2 Punkte)

Teil B (mit wissenschaftlichem Taschenrechner)

Aufgabe 4: Untersuchung einer Funktion, 14 Punkte

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,5x³ − 1,5x² − 4,5x + 2.

a) Bestimme die lokalen Extrempunkte des Graphen von f. Verwende dabei die notwendige Bedingung und den Vorzeichenwechsel von f' als hinreichende Bedingung. (7 Punkte)

b) Gib die Intervalle an, in denen der Graph von f streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend ist. (3 Punkte)

c) Zeige, dass der Graph von f an genau einer Stelle die Steigung −6 hat, und bestimme die Gleichung der Tangente an dieser Stelle. (4 Punkte)

Aufgabe 5: Temperatur in einem Gewächshaus (fiktive Werte), 20 Punkte

An einem Sommertag wird die Temperatur in einem Gewächshaus zwischen 6 Uhr und 18 Uhr näherungsweise durch die Funktion T mit T(t) = −0,05t³ + 0,6t² + 14 (0 ≤ t ≤ 12) beschrieben. Dabei ist t die Zeit in Stunden nach 6 Uhr und T(t) die Temperatur in °C.

a) Berechne die Temperatur um 10 Uhr. (2 Punkte)

b) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Temperatur im Gewächshaus am höchsten ist, und gib diese Temperatur an. Berücksichtige auch die Ränder des Zeitraums. (5 Punkte)

c) Berechne T'(10) und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang. (3 Punkte)

d) Berechne die mittlere Änderungsrate der Temperatur zwischen 8 Uhr und 12 Uhr und interpretiere das Ergebnis. (3 Punkte)

e) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Temperatur am stärksten ansteigt, und gib die zugehörige momentane Änderungsrate an. (4 Punkte)

f) Beurteile, ob die Funktion T auch geeignet ist, die Temperatur nach 18 Uhr zu beschreiben. Berechne dazu T(14) und T(16). (3 Punkte)

Erwartungshorizont im Überblick

Der Erwartungshorizont hat 20 Kriterien mit zusammen 60 Punkte. Die Tabelle zeigt, wofür es Punkte gibt.

So setzt du die Klausur ein

1. Kostenlos registrieren und die Klausur in der Bibliothek öffnen.
2. Aufgabenblatt als Word herunterladen und an deine Lerngruppe anpassen oder als PDF drucken.
3. Mit „In meinen Kurs übernehmen“ legt Zencurio sie samt Erwartungshorizont in einem deiner Kurse an. Kriterien und Punkte änderst du dort wie gewohnt.
4. Nach dem Schreiben die Arbeiten scannen. Zencurio liest die Handschrift und schlägt Punkte je Kriterium vor, du prüfst und gibst die Note.