Klausur Q1: Integralrechnung im Grundkurs

Steckbrief

Material und Schwerpunkt

Teil A behandelt Stammfunktionen, den Hauptsatz und orientierte Flächeninhalte. Teil B unterscheidet Integral und Flächeninhalt bei einer kubischen Funktion, berechnet ein Blumenbeet zwischen zwei Parabeln und rekonstruiert die Wassermenge in einem Regenrückhaltebecken aus der Zuflussrate.

Der Erwartungshorizont achtet darauf, dass Integral und Flächeninhalt sauber getrennt und Flächen an den Nullstellen aufgeteilt werden. In der Anwendung zählt die Deutung von Änderungsrate und Bestand im Sachzusammenhang.

Aufgabenstellung

Teil A (hilfsmittelfrei)

Aufgabe 1: Stammfunktionen, 8 Punkte

a) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = 6x² − 4x + 3. (2 Punkte)

b) Bestimme eine Stammfunktion von g mit g(x) = (1/2)x³ − 5. (2 Punkte)

c) Bestimme eine Stammfunktion von h mit h(x) = (x + 1)². (2 Punkte)

d) Bestimme diejenige Stammfunktion F von f aus Teilaufgabe a), deren Graph durch den Punkt P(1|5) verläuft. (2 Punkte)

Aufgabe 2: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, 7 Punkte

a) Berechne ∫ von 1 bis 3 (2x − 1) dx. (3 Punkte)

b) Zeige, dass F mit F(x) = x³ − 2x² + 5 eine Stammfunktion von f mit f(x) = 3x² − 4x ist. Begründe, warum f unendlich viele Stammfunktionen besitzt. (4 Punkte)

Aufgabe 3: Flächen und orientierte Flächeninhalte, 9 Punkte

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = −x² + 4x.

a) Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt. (5 Punkte)

b) Berechne ∫ von 0 bis 6 f(x) dx und deute das Ergebnis geometrisch. (4 Punkte)

Teil B (mit wissenschaftlichem Taschenrechner)

Aufgabe 4: Fläche zwischen Graph und x-Achse, 13 Punkte

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 2x² − 3x.

a) Berechne die Nullstellen von f. (3 Punkte)

b) Berechne ∫ von −1 bis 3 f(x) dx. (3 Punkte)

c) Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt. (5 Punkte)

d) Erläutere, warum sich die Ergebnisse aus b) und c) unterscheiden. (2 Punkte)

Aufgabe 5: Ein Blumenbeet (fiktive Angaben), 14 Punkte

In einem Park soll ein Blumenbeet angelegt werden. In einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 m) wird das Beet von den Graphen der Funktionen f mit f(x) = 0,5x² − 2x + 3 und g mit g(x) = −0,5x² + x + 3 begrenzt. Das Beet ist die Fläche, die die beiden Graphen einschließen.

a) Berechne die Schnittstellen der beiden Graphen. (3 Punkte)

b) Berechne den Flächeninhalt des Beetes. (5 Punkte)

c) Für einen Quadratmeter Beet werden 12 Pflanzen benötigt. Berechne, wie viele Pflanzen insgesamt benötigt werden. (2 Punkte)

d) Das Beet soll durch einen schmalen, geraden Weg parallel zur y-Achse in zwei Teile geteilt werden. Zeige, dass ein Weg entlang der Geraden x = 1,5 das Beet in zwei gleich große Teile teilt. (4 Punkte)

Aufgabe 6: Regenrückhaltebecken (fiktive Werte), 24 Punkte

Nach einem Starkregen fließt Wasser in ein Regenrückhaltebecken; später wird das Becken durch Pumpen wieder entleert. Die Änderungsrate der Wassermenge im Becken wird für die ersten 12 Stunden durch die Funktion r mit r(t) = 0,1t³ − 1,8t² + 7,2t (0 ≤ t ≤ 12) beschrieben. Dabei ist t die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn und r(t) die Änderungsrate in Kubikmetern pro Stunde (m³/h). Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Werte Abfluss. Zu Beobachtungsbeginn befinden sich 50 m³ Wasser im Becken.

a) Berechne r(2) und r(9) und interpretiere die Werte im Sachzusammenhang. (3 Punkte)

b) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem in den ersten 6 Stunden das Wasser am stärksten zufließt, und die zugehörige Zuflussrate. Runde auf zwei Nachkommastellen. (4 Punkte)

c) Berechne, wie viel Wasser in den ersten 6 Stunden in das Becken fließt, und berechne die mittlere Zuflussrate in diesem Zeitraum. (5 Punkte)

d) Bestimme eine Funktion W, die die Wassermenge im Becken (in m³) zum Zeitpunkt t angibt. (4 Punkte)

e) Begründe, dass die Wassermenge im Becken nach 6 Stunden am größten ist, und berechne diese Wassermenge. (4 Punkte)

f) Zeige, dass sich nach 12 Stunden wieder genau 50 m³ Wasser im Becken befinden, und interpretiere dieses Ergebnis mit Blick auf die Zu- und Abflussmengen. (4 Punkte)

Erwartungshorizont im Überblick

Der Erwartungshorizont hat 22 Kriterien mit zusammen 75 Punkte. Die Tabelle zeigt, wofür es Punkte gibt.

So setzt du die Klausur ein

1. Kostenlos registrieren und die Klausur in der Bibliothek öffnen.
2. Aufgabenblatt als Word herunterladen und an deine Lerngruppe anpassen oder als PDF drucken.
3. Mit „In meinen Kurs übernehmen“ legt Zencurio sie samt Erwartungshorizont in einem deiner Kurse an. Kriterien und Punkte änderst du dort wie gewohnt.
4. Nach dem Schreiben die Arbeiten scannen. Zencurio liest die Handschrift und schlägt Punkte je Kriterium vor, du prüfst und gibst die Note.