# Klausur EF: Ableitungen ganzrationaler Funktionen

> Klausur Mathe EF mit Erwartungshorizont: Ableitungsregeln, Tangente, Monotonie und Extrempunkte ganzrationaler Funktionen, Teil A hilfsmittelfrei.

Seite: https://zencurio.de/klausuren/mathe-ef-ableitungen. Stand: 1. November 2026. Verantwortlich: Cihad Gök, Zencurio.
Regeln des eigenen Landes und Beschlüsse der Fachkonferenz gehen immer vor.

Eine fertige Klausur für Mathematik in der Einführungsphase zur Differentialrechnung, mit Aufgabenblatt und Erwartungshorizont samt Teilpunkten nach dem Kernlehrplan NRW.

## Kurz beantwortet

Die Klausur prüft die Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen aus der Einführungsphase des Kernlehrplans Mathematik in NRW. Teil A ist hilfsmittelfrei, Teil B wird mit wissenschaftlichem Taschenrechner bearbeitet. Sie dauert 90 Minuten und hat 60 Punkte in 20 Kriterien. Lösungswege mit Teilpunkten stehen im Erwartungshorizont, nach der kostenlosen Anmeldung.

## Steckbrief

| Merkmal | Angabe |
| --- | --- |
| Fach | Mathematik |
| Stufe | Einführungsphase (EF) |
| Schulform | Gymnasium, Nordrhein-Westfalen |
| Bearbeitungszeit | 90 Minuten |
| Hilfsmittel | Teil A: keine; Teil B: wissenschaftlicher Taschenrechner |
| Umfang | 5 Aufgaben, 60 Punkte in 20 Kriterien |
| Lehrplanbezug | Kernlehrplan Mathematik Sek II NRW (2014/2023), Einführungsphase, Inhaltsfeld Funktionen und Analysis: Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen |
| Enthalten | Aufgabenblatt und Erwartungshorizont, jeweils als Word und PDF |

## Material und Schwerpunkt

Teil A fragt Ableitungsregeln, Tangenten und Stellen mit vorgegebener Steigung ab und lässt vier Aussagen über eine Funktion beurteilen, von der nur die Ableitung bekannt ist. Teil B untersucht eine Funktion auf Extrempunkte und Monotonie und modelliert den Temperaturverlauf in einem Gewächshaus.

Bei den Extrempunkten erwartet der Erwartungshorizont notwendige und hinreichende Bedingung. Die Anwendung endet mit der Frage, wie lange das Modell gilt, damit die Klasse Ergebnisse auch kritisch einordnet.

## Aufgabenstellung

**Teil A (hilfsmittelfrei)**

### Aufgabe 1: Ableitungsregeln, 8 Punkte

Bestimme jeweils die erste Ableitung. Vereinfache gegebenenfalls vorher den Funktionsterm.

a) f(x) = 3x⁴ − 2x³ + 5x − 7 (2 Punkte)

b) g(x) = (1/3)x³ − 2x² + 4 (2 Punkte)

c) h(x) = (x − 2)(x + 3) (2 Punkte)

d) k(x) = (2x − 1)² (2 Punkte)

### Aufgabe 2: Steigung und Tangente, 10 Punkte

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 4.

a) Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(1|f(1)). (4 Punkte)

b) Bestimme alle Stellen, an denen der Graph von f die Steigung 9 hat. (3 Punkte)

c) Zeige, dass der Graph von f die x-Achse an der Stelle x = 2 berührt. (3 Punkte)

### Aufgabe 3: Schlussfolgerungen aus der Ableitung, 8 Punkte

Von einer ganzrationalen Funktion f ist nur die Ableitung bekannt: f'(x) = −2x + 6. Entscheide für jede der folgenden Aussagen, ob sie zutrifft, und begründe deine Entscheidung.

a) Der Graph von f ist für x < 3 streng monoton steigend. (2 Punkte)

b) Der Graph von f hat an der Stelle x = 3 einen lokalen Hochpunkt. (2 Punkte)

c) Aus den Angaben folgt f(3) = 0. (2 Punkte)

d) Der Graph von f ist eine nach unten geöffnete Parabel. (2 Punkte)

**Teil B (mit wissenschaftlichem Taschenrechner)**

### Aufgabe 4: Untersuchung einer Funktion, 14 Punkte

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,5x³ − 1,5x² − 4,5x + 2.

a) Bestimme die lokalen Extrempunkte des Graphen von f. Verwende dabei die notwendige Bedingung und den Vorzeichenwechsel von f' als hinreichende Bedingung. (7 Punkte)

b) Gib die Intervalle an, in denen der Graph von f streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend ist. (3 Punkte)

c) Zeige, dass der Graph von f an genau einer Stelle die Steigung −6 hat, und bestimme die Gleichung der Tangente an dieser Stelle. (4 Punkte)

### Aufgabe 5: Temperatur in einem Gewächshaus (fiktive Werte), 20 Punkte

An einem Sommertag wird die Temperatur in einem Gewächshaus zwischen 6 Uhr und 18 Uhr näherungsweise durch die Funktion T mit T(t) = −0,05t³ + 0,6t² + 14 (0 ≤ t ≤ 12) beschrieben. Dabei ist t die Zeit in Stunden nach 6 Uhr und T(t) die Temperatur in °C.

a) Berechne die Temperatur um 10 Uhr. (2 Punkte)

b) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Temperatur im Gewächshaus am höchsten ist, und gib diese Temperatur an. Berücksichtige auch die Ränder des Zeitraums. (5 Punkte)

c) Berechne T'(10) und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang. (3 Punkte)

d) Berechne die mittlere Änderungsrate der Temperatur zwischen 8 Uhr und 12 Uhr und interpretiere das Ergebnis. (3 Punkte)

e) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Temperatur am stärksten ansteigt, und gib die zugehörige momentane Änderungsrate an. (4 Punkte)

f) Beurteile, ob die Funktion T auch geeignet ist, die Temperatur nach 18 Uhr zu beschreiben. Berechne dazu T(14) und T(16). (3 Punkte)

## Erwartungshorizont im Überblick

Der Erwartungshorizont hat 20 Kriterien mit zusammen 60 Punkte. Die Tabelle zeigt, wofür es Punkte gibt.

Kriterien und Punkte:

| Aufgabe | Kriterium | Punkte |
| --- | --- | --- |
| 1 | Ableitung mit Potenz-, Faktor- und Summenregel | 2 |
| 1 | Ableitung mit Bruchkoeffizient | 2 |
| 1 | Ableitung nach Ausmultiplizieren | 2 |
| 1 | Ableitung nach binomischer Formel | 2 |
| 2 | Tangentengleichung | 4 |
| 2 | Stellen mit vorgegebener Steigung | 3 |
| 2 | Berührpunkt mit der x-Achse nachweisen | 3 |
| 3 | Aussage zur Monotonie | 2 |
| 3 | Aussage zum Hochpunkt | 2 |
| 3 | Aussage zum Funktionswert | 2 |
| 3 | Aussage zur Form des Graphen | 2 |
| 4 | Lokale Extrempunkte | 7 |
| 4 | Monotonieintervalle | 3 |
| 4 | Stelle mit Steigung −6 und Tangente | 4 |
| 5 | Temperatur um 10 Uhr | 2 |
| 5 | Höchste Temperatur | 5 |
| 5 | Momentane Änderungsrate | 3 |
| 5 | Mittlere Änderungsrate | 3 |
| 5 | Stärkster Anstieg | 4 |
| 5 | Gültigkeit des Modells beurteilen | 3 |

Summe: 60 Punkte

> **Vollständiger Erwartungshorizont** Erwartete Antworten, Teilpunkte und Hinweise zur Bewertung stehen im vollständigen Erwartungshorizont. Du findest ihn nach der [kostenlosen Anmeldung](https://zencurio.de/register) in der Bibliothek, als Word, als PDF und zum Übernehmen in deinen Kurs.

## So setzt du die Klausur ein

1. [Kostenlos registrieren](https://zencurio.de/register) und die Klausur in der Bibliothek öffnen.
2. Aufgabenblatt als Word herunterladen und an deine Lerngruppe anpassen oder als PDF drucken.
3. Mit „In meinen Kurs übernehmen“ legt Zencurio sie samt Erwartungshorizont in einem deiner Kurse an. Kriterien und Punkte änderst du dort wie gewohnt.
4. Nach dem Schreiben die Arbeiten scannen. Zencurio liest die Handschrift und schlägt Punkte je Kriterium vor, du prüfst und gibst die Note.

> **Aufgaben anpassen** Die Aufgaben stehen öffentlich auf dieser Seite. Ändere im Word-Dokument ein paar Zahlen, Namen oder Teilaufgaben, dann kann niemand sie vorher wörtlich finden. Passe in dem Fall auch den Erwartungshorizont an.

> Prüfe vor dem Einsatz, ob die Vorlage zu deinem Unterricht, dem schulinternen Lehrplan und den Absprachen deiner Fachkonferenz passt. Nutzen darfst du sie für deinen eigenen Unterricht.

## Quellen

- [NRW: Kernlehrplan Mathematik für die gymnasiale Oberstufe (2023)](https://lehrplannavigator.nrw.de/system/files/media/document/file/gost_klp_m_2023_06_07.pdf)